【題目】已知數(shù)列{an}中,a1=3,a2=5,其前n項和為Sn滿足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1(n≥3,n∈N*)
(1)試求數(shù)列{an}的通項公式
(2)令bn= ,Tn是數(shù)列{bn}的前n項和.證明:對任意給定的m∈(0, ),均存在n0∈N*,使得當n≥n0時,Tn>m恒成立.
【答案】
(1)解:由Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1(n≥3,n∈N*),整理得:Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2n﹣1,
∴an=an﹣1=2n﹣1,即an﹣an﹣1=2n﹣1,n≥3,
∵a2﹣a1=2,
a3﹣a2=4,
a4﹣a3=23,
…
an﹣an﹣1=2n﹣1,
將上式累加整理得:an﹣a1=2+4+23+…+2n﹣1,
∴an= +3=2n+1,
數(shù)列{an}的通項公式an=2n+1;
(2)證明: bn= = = ( ﹣ ),
∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn=b1+b2+b3+…+bn,
= [( ﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ )],
= ( ﹣ ),
Tn+1﹣Tn= >0,
∴Tn隨著n的增大而增大,
若Tn>m,則 ( ﹣ )>m,化簡整理得: > ,
∵m∈(0, ),
∴1﹣6m>0,
∴2n+1> ﹣1,
n>log2( ﹣1)﹣1,
當log2( ﹣1)﹣1<1時,即0<m< ,取n0=1,
當log2( ﹣1)﹣1≥1時,解得: ≤m< ,記log2( ﹣1)﹣1的整數(shù)部分為p,
取n0=p+1即可,
綜上可知,對任意m∈(0, ),均存在n0∈N*,使得當n≥n0時,Tn>m恒成立
【解析】(1)由題意可知Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2n﹣1 , 即an﹣an﹣1=2n﹣1 , n≥3,采用“累加法”即可求得數(shù)列{an}的通項公式;(2)由(1)可知,bn= = = ( ﹣ ),采用“裂項法”即可求得數(shù)列{bn}的前n項和Tn , 由函數(shù)的單調性可知,Tn隨著n的增大而增大,分離參數(shù)n>log2( ﹣1)﹣1,分類log2( ﹣1)﹣1<1及l(fā)og2( ﹣1)﹣1≥1時,求得m的取值范圍,求得n0的值,即可證明存在n0∈N*,使得當n≥n0時,Tn>m恒成立.
【考點精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式的相關知識點,需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的首項為1,前n項和Sn與an之間滿足an= (n≥2,n∈N*)
(1)求證:數(shù)列{ }是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設存在正整數(shù)k,使(1+S1)(1+S1)…(1+Sn)≥k 對于一切n∈N*都成立,求k的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列{an}滿足an>0,n=1,2,…,且a5a2n﹣5=22n(n≥3),則當n≥1時,log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=( )
A.n(2n﹣1)
B.(n+1)2
C.n2
D.(n﹣1)2
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知t= (u>1),且關于t的不等式t2﹣8t+m+18<0有解,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣3)
B.(﹣3,+∞)
C.(3,+∞)
D.(﹣∞,3)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}前n項和為Sn , 首項a1=3,數(shù)列{bn} 為等比數(shù)列,首項b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.
(1)求an和bn;
(2)設f(n)= (n∈N*),求f(n)最大值及相應的n的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標系xOy中,A(2,4),B(﹣1,2),C,D為動點,
(1)若C(3,1),求平行四邊形ABCD的兩條對角線的長度
(2)若C(a,b),且 ,求 取得最小值時a,b的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列{an}中,a1=1an+1= ,n∈N*.
(1)求證數(shù)列 為等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn},其中{an}的公差不為0.設Sn是數(shù)列{an}的前n項和.若a1 , a2 , a5是數(shù)列{bn}的前3項,且S4=16.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(2)若數(shù)列{ }為等差數(shù)列,求實數(shù)t;
(3)構造數(shù)列a1 , b1 , a2 , b1 , b2 , a3 , b1 , b2 , b3 , …,ak , b1 , b2 , …,bk , …,若該數(shù)列前n項和Tn=1821,求n的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司計劃種植A,B兩種中藥材,該公司最多能承包50畝的土地,可使用的周轉資金不超過54萬元,假設藥材A售價為0.55萬元/噸,產(chǎn)量為4噸/畝,種植成本1.2萬元/畝;藥材B售價為0.3萬元/噸,產(chǎn)量為6噸/畝,種植成本0.9萬元/畝時公司的總利潤最大,則A,B兩種中藥材的種植面積應各為多少畝,最大利潤為多少萬元?
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