【題目】已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn},其中{an}的公差不為0.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1 , a2 , a5是數(shù)列{bn}的前3項(xiàng),且S4=16.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{ }為等差數(shù)列,求實(shí)數(shù)t;
(3)構(gòu)造數(shù)列a1 , b1 , a2 , b1 , b2 , a3 , b1 , b2 , b3 , …,ak , b1 , b2 , …,bk , …,若該數(shù)列前n項(xiàng)和Tn=1821,求n的值.

【答案】
(1)解:設(shè){an}的公差d≠0.∵a1,a2,a5是數(shù)列{bn}的前3項(xiàng),且S4=16.

,即 ,4a1+ =16,

解得a1=1,d=2,

∴an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1.

∴b1=1,b2=3,公比q=3.

∴bn=3n﹣1


(2)解:Sn= =n2.∴ =

∵數(shù)列{ }為等差數(shù)列,

= + ,t2﹣2t=0.

解得t=2或0,經(jīng)過(guò)驗(yàn)證滿足題意.


(3)解:由(1)可得:Sn=n2,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和An= = .?dāng)?shù)列{An}的前n項(xiàng)和Un= n= n.

數(shù)列a1,b1,a2,b1,b2,a3,b1,b2,b3,…,ak,b1,b2,…,bk,…,

∴該數(shù)列前k+ = 項(xiàng)和=k2+ (k﹣1),

∵37=2187,38=6561.

∴取k=8,可得前 =36項(xiàng)的和為: =1700,

令Tn=1821=1700+ ,解得m=5.

∴n=36+5=41.


【解析】(1)設(shè){an}的公差d≠0.由a1,a2,a5是數(shù)列{bn}的前3項(xiàng),且S4=16.可得 ,即 ,4a1+ =16,解得a1,d,即可得出.(2)Sn= =n2.可得 = .根據(jù)數(shù)列{ }為等差數(shù)列,可得 = + ,t2﹣2t=0.

解得t.(3)由(1)可得:Sn=n2,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和An= = .?dāng)?shù)列{An}的前n項(xiàng)和Un= n= n.?dāng)?shù)列a1,b1,a2,b1,b2,a3,b1,b2,b3,…,ak,b1,b2,…,bk,…,可得:該數(shù)列前k+ = 項(xiàng)和=k2+ (k﹣1),根據(jù)37=2187,38=6561.進(jìn)而得出.

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