Question

9．已知f（x）=lnx-x³+2ex²-ax，a∈R，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若f（x）在x=e處的切線的斜率為e²，求a；
（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（e），求出a的值即可；
（2）求出$\frac{lnx}{x}-{x^2}+2ex=a$，記$F（x）=\frac{lnx}{x}-{x^2}+2ex$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出F（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x}-3{x^2}+4ex-a$，
$f'（e）=\frac{1}{e}+{e^2}-a={e^2}$，∴$a=\frac{1}{e}$．
（2）由lnx-x³+2ex²-ax=0，
得$\frac{lnx}{x}-{x^2}+2ex=a$，
記$F（x）=\frac{lnx}{x}-{x^2}+2ex$，
則$F'（x）=\frac{1-lnx}{x}-2（x-e）$，x∈（e，+∞），
F'（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減；
x∈（0，e）時，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增．
∴$F{（x）_{max}}=F（e）=\frac{1}{e}+{e^2}$．
而x→0時F（x）→-∞，
x→+∞時F（x）→-∞，
故$a＜\frac{1}{e}+{e^2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．