Question

設(shè)橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為4，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，AB=2．
（1）求橢圓方程；
（2）若M，N是橢圓C上的點(diǎn)，且直線(xiàn)OM與ON的斜率之積為-

1

2

，是否存在動(dòng)點(diǎn)P（x₁，y₁），若

OP

=

OM

+2

ON

，有x₁²+2y₁²為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知得2a=4，

c2

4

+

1

b2

=1，由此能求出橢圓方程．
（2）存在這樣的點(diǎn)P（x₁，y₁）．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由k_OM•k_ON=

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，結(jié)合已知條件能推導(dǎo)出存在這樣的點(diǎn)P（x₀，y₀）．

解答： 解：（1）因?yàn)?a=4，所以，a=2，（2分）
∵過(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，AB=2．
∴由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，橢圓過(guò)點(diǎn)（c，1），即

c2

4

+

1

b2

=1，（4分）
c²=4-b²，解得b²=2，
橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．（7分）
（2）存在這樣的點(diǎn)P（x₁，y₁）．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則k_OM•k_ON=

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，化簡(jiǎn)為x₁x₂+2y₁y₂=0，（9分）
∵M(jìn)，N是橢圓C上的點(diǎn)，∴

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1，
由

OP

=

OM

+2

ON

，得

x0=x1+2x2 y0=y1+2y2

，（11分）
∵x02+2y02=（x₁+2x₂）²+（y₁+2y₂）²
=（x12+2y12）+4（x22+2y22）+4（x₁x₂+2y₁y₂）
=4+4×4+0
=20，
即存在這樣的點(diǎn)P（x₀，y₀）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查滿(mǎn)足條件的點(diǎn)是否存在的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．