Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= 是定義域在R上的奇函數(shù)，且f（2）= ．
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）解不等式：f（log （2x﹣2）]+f[log2（1﹣ x）]≥0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知f（x）定義域在R上的奇函數(shù)可得f（0）=0，f（2）=

即： ，解得：

即實(shí)數(shù)a=2、b=﹣3

（2）解：由（1）f（x）= =2﹣

函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，

證明：在R上任x1，x2，且x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=2﹣ ﹣（2﹣ ）=

∵x1＜x2，∴ ，∴ ＜0即f（x1）﹣f（x2）＜0

∴函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．

（3）解：不等式：f（log （2x﹣2）]+f[log2（1﹣ x）]≥0．

等價(jià)轉(zhuǎn)化為：f（log （2x﹣2）]≥﹣f[log2（1﹣ x）]

∵f（x）定義域在R上的奇函數(shù)

∴f（log （2x﹣2）]≥f[log （1﹣ x）]

又∵函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，

∴l(xiāng)og （2x﹣2）≥log （1﹣ x）

由

解得：

∴原不等式的解集為{x| }．

【解析】1、由題意可知f（x）定義域在R上的奇函數(shù)可得f（0）=0，由已知f（2）= ，由待定系數(shù)法可求得a=2，b=3。
2、根據(jù)（1）可求得函數(shù)的解析式。再根據(jù)函數(shù)增減性的定義可得證。
3、由題意轉(zhuǎn)化原式可得不等式：f（log （2x﹣2）]≥﹣f[log2（1﹣ x）]，再根據(jù)f（x）定義域在R上的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義可得f（log （2x﹣2）]≥f[log （1﹣ x）]，再利用函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，由增函數(shù)的定義可得不等式組，解得x的取值范圍。
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．