Question

如圖：中心為原點的雙曲線的一條漸近線為y=x，焦點A、B在x軸上，焦距|AB|為．
（1）求此雙曲線方程；
（2）過P（2，0）的直線L交雙曲線于點M、N，．求證：對于任意直線L，數量積是定值，并求出該定值．
（3）在（2）的條件下，求|QM|²+|QN|²-|MN|²的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由漸進線為y=±x，知雙曲線是等軸雙曲線x²-y²=a²，離心率e=．由此能求出其方程．
（2）設MN的方程為x=my+2，代入x²-y²=1，得（m²-1）y²+4my+3=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=-，y₁y₂=．
=（m²+1）y₁y₂+m（2-b）（y₁+y₂）+4-4b+b²為定值，由此得到證明．
（3）|QM|²+|QN|²-|MN|²=（x₁-1）²+（y₁）²+（x₂-1）²+（y₂）²-（x₁-x₂）²-（y₁-y₂）²=2m（y₁+y₂）=，由此能求出|QM|²+|QN|²-|MN|²的值．
解答：解：（1）∵漸進線為y=±x，∴是等軸雙曲線x²-y²=a²，離心率e=．
又2c=2，∴c²=2a²，a=1，方程為x²-y²=1．
（2）設MN的方程為x=my+2，代入x²-y²=1，得（m²-1）y²+4my+3=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=-，y₁y₂=．

=（m²+1）y₁y₂+m（2-b）（y₁+y₂）+4-4b+b²為定值，可得（b²-1）m²-（b²-4b+1）=C（定值）…（*）
∴（b²-1-C）m²-（b²-4b+1-C）=0而與m的取值無關，
∴b²-1-C=b²-4b+1-C=0，∴C=-，b=．
（3）|QM|²+|QN|²-|MN|²=（x₁-1）²+（y₁）²+（x₂-1）²+（y₂）²-（x₁-x₂）²-（y₁-y₂）²=2m（y₁+y₂）=，
由（2）知 C=-，b=，代入（*）式，得m²=2，
∴|QM|²+|QN|²-|MN|²==-16．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．