Question

已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f（x）=x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同．
（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）求證：f（x）≥g（x）  （x＞0）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出兩曲線的公共點坐標，分別求出f（x）和g（x）的導函數(shù)，把設(shè)出點的坐標代入兩導函數(shù)中得到兩關(guān)系式，聯(lián)立兩關(guān)系式即可解出公共點的橫坐標，把求出的橫坐標代入得到用a表示出b的式子，設(shè)h（t）等于表示出的式子，求出h（t）的導函數(shù)，令導函數(shù)大于0求出t的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令導函數(shù)小于0求出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性即可求出h（t）的最大值即為b的最大值；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），求出F（x）的導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的正負得到F（x）的單調(diào)區(qū)間，由x大于0和函數(shù)的增減性得到F（x）的最小值為0，即f（x）-g（x）大于等于0，得證．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x，y）處的切線相同．
∵f'（x）=x+2a，，由題意f（x）=g（x），f'（x）=g'（x）．
即由得：x=a，或x=-3a（舍去）．
即有．
令，則h'（t）=2t（1-3lnt）．
于是當t（1-3lnt）＞0，即時，h'（t）＞0；當t（1-3lnt）＜0，即時，h'（t）＜0．
故h（t）在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值為．
（Ⅱ）設(shè)，
則F'（x）=．
故F（x）在（0，a）為減函數(shù)，在（a，+∞）為增函數(shù)，
于是函數(shù)F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x）=f（x）-g（x）=0．
故當x＞0時，有f（x）-g（x）≥0，即當x＞0時，f（x）≥g（x）．
點評：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導數(shù)的應用等知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力．