Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，公差d≠0，且a₃，a₆，a₁₅分別是等比數(shù)列{b_n}的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n+a_n}的前n項(xiàng)和T_n的值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由已知a₃，a₆，a₁₅分別是等比數(shù)列{b_n}的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)，可求出數(shù)列{a_n}、{b_n}的公差和公比，進(jìn)而得到數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式
（II）根據(jù)已知中數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式，利用拆項(xiàng)法，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可得答案．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d
∵a₃，a₆，a₁₅分別是等比數(shù)列{b_n}的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)
∴a62=a3a15⇒(1+5d)2=(1+2d)(1+15d)⇒d=-2，
又∵a₁=1
∴a_n=-2n+3
又∵b₂=-3，b₃=-9，∴q=3，
∴bn=-3n-1
（2）bn+an=-3n-1+3-2n，
T_n=（-1+1）+（-3-1）+（-9-3）+…+（-3^n-1+3-2n）
=-（1+3+9+…+3^n-1）+（1-1-3-…+3-2n）
=-

1-3n

1-3

+n+

n(n-1)

2

×(-2)
=

1

2

(1+4n-2n2-3n)
∴Tn=

1

2

(1+4n-2n2-3n)

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，熟練掌握數(shù)列的基本公式是解答的關(guān)鍵．