Question

（2013•資陽(yáng)一模）已知函數(shù)f（x）=a（x-1）²+lnx+1．
（Ⅰ）當(dāng)a=-

1

4

時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)都在

x≥1 y-x≤0

所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=-

1

4

代入可得函數(shù)解析式，求導(dǎo)后由極值的定義可得；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞減等價(jià)于其導(dǎo)數(shù)f′(x)=2a(x-1)+

1

x

≤0在區(qū)間[2，4]上恒成立，只需求

1

-x2+x

在[2，4]上的最小值即可，下面可由基本不等式求解；
（Ⅲ）題意可化為當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x-1）²+lnx-x+1≤0恒成立，設(shè)g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1（x≥1），只需g（x）_max≤0即可，下面用導(dǎo)數(shù)求解g（x）的最大值．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=-

1

4

時(shí)，f(x)=-

1

4

(x-1)2+lnx+1=-

1

4

x2+

1

2

x+lnx+

3

4

（x＞0），
所以f′(x)=-

1

2

x+

1

x

+

1

2

=-

(x-2)(x+1)

2x

（x＞0），
由f'（x）＞0解得0＜x＜2；由f'（x）＜0解得x＞2，
故當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增；當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值f(2)=

3

4

+ln2．（4分）
（Ⅱ）f′(x)=2a(x-1)+

1

x

，∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞減，
∴導(dǎo)數(shù)f′(x)=2a(x-1)+

1

x

≤0在區(qū)間[2，4]上恒成立，
即2a≤

1

-x2+x

在[2，4]上恒成立，只需2a不大于

1

-x2+x

在[2，4]上的最小值即可．（6分）
而

1

-x2+x

=

1

-(x- 1 2 )2+ 1 4

（2≤x≤4），則當(dāng)2≤x≤4時(shí)，

1

-x2+x

∈[-

1

2

，-

1

12

]，
∴2a≤-

1

2

，即a≤-

1

4

，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，-

1

4

]．（8分）
（Ⅲ）因f（x）圖象上的點(diǎn)在

x≥1 y-x≤0

所表示的平面區(qū)域內(nèi)，
即當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x-1）²+lnx-x+1≤0恒成立，
設(shè)g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1（x≥1），只需g（x）_max≤0即可．（9分）
由g′(x)=2a(x-1)+

1

x

-1=

2ax2-(2a+1)x+1

x

，
（�。┊�(dāng)a=0時(shí)，g′(x)=

1-x

x

，當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，故g（x）≤g（1）=0成立．（10分）
（ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，由g′(x)=

2ax2-(2a+1)x+1

x

=

2a(x-1)(x- 1 2a )

x

，令g'（x）=0，得x₁=1或x2=

1

2a

，
①若

1

2a

＜1，即a＞

1

2

時(shí)，在區(qū)間（1，+∞）上，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）在[1，+∞）上無最大值，不滿足條件；
②若

1

2a

≥1，即0＜a≤

1

2

時(shí)，函數(shù)g（x）在(1，

1

2a

)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(

1

2a

，+∞)上單調(diào)遞增，同樣g（x）在[1，+∞）上無最大值，不滿足條件．（12分）
（ⅲ）當(dāng)a＜0時(shí)，由g′(x)=

2a(x-1)(x- 1 2a )

x

，因x∈（1，+∞），故g'（x）＜0，則函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，故g（x）≤g（1）=0成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及極值，基本不等式，和分類討論的思想，屬中檔題．