Question

現(xiàn)代城市大多是棋盤式布局（如北京道路幾乎都是東西和南北走向）．在這樣的城市中，我們說的兩點(diǎn)間的距離往往不是指兩點(diǎn)間的直線距離（位移），而是實(shí)際路程（如圖1）．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，我們定義A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)間的“直角距離”為：D_（AB）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．

（1）已知A（-3，-3），B（3，2），求A、B兩點(diǎn)的距離D_（AB）．
（2）求到定點(diǎn)M（1，2）的“直角距離”為2的點(diǎn)的軌跡方程．并寫出所有滿足條件的“格點(diǎn)”的坐標(biāo)（格點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）．
（3）求到兩定點(diǎn)F₁、F₂的“直角距離”和為定值2a（a＞0）的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，并在直角坐標(biāo)系如圖2內(nèi)作出該動(dòng)點(diǎn)的軌跡．
①F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），a=2；
②F₁（-1，-1），F(xiàn)₂（1，1），a=2；
③F₁（-1，-1），F(xiàn)₂（1，1），a=4．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,新定義

分析：（1）直接由直角距離的概念求解；
（2）由定義寫出軌跡方程，然后找滿足條件的整數(shù)數(shù)對(duì)得到格點(diǎn)數(shù)；
（3）由定義寫出軌跡方程，分類討論去絕對(duì)值后即可作出圖象．

解答： 解：（1）∵A（-3，-3），B（3，2），
∴D_（AB）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|-3-3|+|-3-2|=11；
（2）由題意可知軌跡方程為：|x-1|+|y-2|=2．
滿足條件的格點(diǎn)為：（1，4），（1，0），（2，3），（2，1），（3，2），
（0，1），（0，3），（-1，2）；
（3）①F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），a=2．
軌跡方程為：|x+1|+|x-1|+2|y|=4．
當(dāng)x≤-1，y≥0時(shí)，x-y+2=0．
當(dāng)x≤-1，y＜0時(shí)，x+y+2=0．
當(dāng)-1＜x＜1，y≥0時(shí)，y=1．
當(dāng)-1＜x＜1，y＜0時(shí)，y=-1．
當(dāng)x≥1，y≥0時(shí)，x+y-2=0．
當(dāng)x≥1，y＜0時(shí)，x-y-2=0．

②F₁（-1，-1），F(xiàn)₂（1，1），a=2．
軌跡方程為：|x+1|+|y+1|+|x-1|+|y-1|=4．
當(dāng)x≤-1，y≥1時(shí)，（x，y）=（-1，1）．
當(dāng)x≤-1，-1＜y＜1時(shí)，x=-1．
當(dāng)x≤-1，y≤-1時(shí)，（x，y）=（-1，-1）．
當(dāng)-1＜x＜1，y≥1時(shí)，y=1．
由對(duì)稱性可得其它幾種情況．

③F₁（-1，-1），F(xiàn)₂（1，1），a=4．
跡方程為：|x+1|+|y+1|+|x-1|+|y-1|=8．
當(dāng)x≤-1，y≥1時(shí)，x-y+4=0．
當(dāng)x≤-1，-1＜y＜1時(shí)，x=-3．
當(dāng)-1＜x＜1，y≥1時(shí)，y=3．
由對(duì)稱性可得其它幾種情況．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是中檔題．