Question

已知定義在區(qū)間[0，2]上的兩個(gè)函數(shù)f（x）和g（x），其中f（x）=x²-2ax+4，g（x）=

2x

2x+1

．
（1）求函數(shù)y=g（x）的值域；
（2）求函數(shù)y=f（x）的最小值m（a）；
（3）若對任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，再根據(jù)定義域即可求出值域
（2）先將函數(shù)f（x）的解析式進(jìn)行配方，然后討論對稱軸與區(qū)間[0，2]的位置關(guān)系，可求出函數(shù)y=f（x）的最小值m（a）；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的最小值和g（x）的最大值，然后使f（x₂）_min＞g（x₁）_max，建立關(guān)系式，解之即可求出a的范圍．

解答： 解：（1）g（x）=

2x

2x+1

=1-

1

2x+1

，
∴g′（x）=

2

(2x+1)2

＞0恒成立，
∴函數(shù)g（x）為增函數(shù)，
∴g（0）=0，g（2）=

4

5

∴g（0）≤g（x）≤g（2），
∴函數(shù)y=g（x）的值域?yàn)閇0，

4

5

]；
（2）由f（x）=x²-2ax+4=（x-a）²+4-a²，
得m(a)=

4-a2，1≤a＜2 8-4a，a≥2

（3）由（1）知函數(shù)y=g（x）的值域?yàn)閇0，

4

5

]
由題設(shè)，得f（x）_min＞g（x）_max，故

-1≤a＜2 4-a2＞ 4 5

或

a≥2 8-4a＞ 4 5

解得-1≤a＜

4 5

5

．
故a的取值范圍為[-1，

4 5

5

）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及函數(shù)單調(diào)性的判定，屬于中檔題．