Question

某影視城為提高旅游增加值，現(xiàn)需要對影視城內(nèi)景點(diǎn)進(jìn)行改造升級．經(jīng)過市場調(diào)查，改造后旅游收入y（萬元）與投入x（萬元）之間滿足關(guān)系：y=

51

50

x-ax²，x∈[t，+∞），其中t為大于

1

2

的常數(shù)．當(dāng)x=10萬元時(shí)，y=9.2萬元，又每投入x萬元需繳納（3+ln

x

10

）萬元的增值稅（旅游增加值=旅游收入-增值稅）．
（I）若旅游增加值為了f（x），求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求旅游增加值f（x）的最大值M．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）當(dāng)x=10時(shí)，y=9.2，代入函數(shù)關(guān)系式，求出a的值，即可求得f（x）的解析式；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，對t分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最值．

解答： 解：（I）當(dāng)x=10時(shí)，y=9.2，即

51

50

×10-100a=9.2，∴a=

1

100

∴f（x）=

51

50

x-

x2

100

-ln

x

10

-3，x∈[t，+∞），
（Ⅱ）f′(x)=-

(x-1)(x-50)

50x

①t∈（50，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（t，+∞）上是減函數(shù)
∴f（x）在x=t時(shí)取得最大值，M=f（t）=

51

50

t-

t2

100

-ln

t

10

-3
②t∈[1，50]時(shí)，x∈（t，50），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，x∈（50，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減
∴f（x）在x=50時(shí)取得最大值，M=f（50）=23-ln5‘
③t∈(

1

2

，1)時(shí)，x∈（t，1），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；x∈（1，50），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；x∈（50，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減
∵f（5）＞f（

1

2

）＞f（t），M=f（50）=23-ln5
∴M=

23-ln5， 1 2 ≤t≤50 51 50 t- t2 100 -ln t 10 -3．t＞50

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．