Question

已知曲線C的極坐標方程是p=2sinθ，直線l的參數(shù)方程是

x=- 3 5 t+2 y= 4 5 t

（t為參數(shù)），設(shè)直線與x軸的交點是M，N是曲線C上一動點，
（1）求曲線C與直線的普通方程；
（2）求|MN|的最大值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：直線與圓,坐標系和參數(shù)方程

分析：本題（1）利用極坐標與直角坐標的關(guān)系將極坐標方程化成直角坐標方程，利用消參法消去參數(shù)t，得到直線l的普通方程；（2）利用點M到圓心的距離求定點到圓上動點距離的最大值．

解答： 解：（1）∵曲線C的極坐標方程是p=2sinθ，
∴ρ²=2ρsinθ．
∵

ρ2=x2+y2 ρsinθ=y

，
∴x²+y²=2y，即x²+y²-2y=0．
∵直線l的參數(shù)方程是

x=- 3 5 t+2 y= 4 5 t

（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)t得到：4x+3y-8=0．
∴曲線C與直線l的普通方程分別為：x²+y²-2y=0，4x+3y-8=0．
（2）∵直線l的普通方程為：4x+3y-8=0，直線與x軸的交點是M，
∴令y=0，則x=2，即M（2，0）．
∵曲線C的普通方程分別為：x²+y²-2y=0，
∴曲線C的圓心為C（0，1），半徑r=1．
∴|MC|=

5

，
∵N是曲線C上一動點，
∴|MN|≤|MC|+r=

5

+1．
即|MN|的最大值為

5

+1．

點評：本題考查的是極坐標方程與直角坐標方程、參數(shù)方程與普通方程的關(guān)系，還考查了幾何法研究定點與圓上動點的距離最大值，有一定的思維量，屬于中檔題．