【題目】已知函數(shù).

(1)當,求函數(shù)的單調區(qū)間;

(2)若函數(shù)上是減函數(shù),求的最小值;

(3)證明:當時,.

【答案】(1)單調遞減區(qū)間是,單調遞增區(qū)間是(2)的最小值為(3)見解析

【解析】分析:(1)代入,根據(jù)導函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調區(qū)間。

(2)由單調遞減區(qū)間,得到恒成立。進而確定只需當時,即可,對導函數(shù)配方,利用二次函數(shù)性質求得最大值,進而得出的最小值。

(3)函數(shù)變形,構造函數(shù),求導函數(shù)。構造函數(shù),則,根據(jù)導函數(shù)的單調性求其最值,即可證明不等式。

詳解:函數(shù)的定義域為,

詳解:函數(shù)的定義域為,

(1)函數(shù)

時,;當時,,

所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間是,,單調遞增區(qū)間是.

(2)因上為減函數(shù),故上恒成立.

所以當時,.

故當,即時,.

所以,于是,故的最小值為.

(3)問題等價于.

,則,

時,取最小值.

,則,知上單調遞增,在上單調遞減.

,

,,

故當時,.

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