Question

14．定義在D上的函數(shù)f（x），若滿足：?x∈D，?M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．
（I）設(shè)$f（x）=\frac{x}{x+1}$，證明：f（x）在$[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$上是有界函數(shù)，并寫出f（x）所有上界的值的集合；
（II）若函數(shù)g（x）=1+2^x+a•4^x在x∈[0，2]上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由f（x）在$[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$上是增函數(shù)，可得f（x）的最值，進(jìn)而得到|f（x）|≤1，即可得證，并可得到上界M的集合；
（II）由題意可得|g（x）|≤3在x∈[0，2]上恒成立．所以$（-\frac{4}{4^x}-\frac{1}{2^x}）≤a≤（\frac{2}{4^x}-\frac{1}{2^x}）$，x∈[0，2]，令$t=\frac{1}{2^x}$，則$t∈[\frac{1}{4}，1]$，所以-4t²-t≤a≤2t²-t在$t∈[\frac{1}{4}，1]$上恒成立，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，分別求得不等式左右兩邊二次函數(shù)的最大值和最小值，即可得到所求a的范圍．

解答 解：（I）證明：因?yàn)?f（x）=\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$，
所以f（x）在$[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$上是增函數(shù)．所以$f（-\frac{1}{2}）≤f（x）≤f（\frac{1}{2}）$．
即$-1≤f（x）≤\frac{1}{3}$，
所以|f（x）|≤1，所以f（x）是有界函數(shù)．
所以，上界M滿足M≥1，所有上界M的集合為[1，+∞）．
（II）因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=1+2^x+a•4^x在x∈[0，2]上是以3為上界的有界函數(shù)，
所以|g（x）|≤3在x∈[0，2]上恒成立．
所以$（-\frac{4}{4^x}-\frac{1}{2^x}）≤a≤（\frac{2}{4^x}-\frac{1}{2^x}）$，x∈[0，2]．
令$t=\frac{1}{2^x}$，則$t∈[\frac{1}{4}，1]$，所以-4t²-t≤a≤2t²-t在$t∈[\frac{1}{4}，1]$上恒成立，
所以${（-4{t^2}-t）_{max}}≤a≤{（2{t^2}-t）_{min}}$在$t∈[\frac{1}{4}，1]$上恒成立，
令h（t）=-4t²-t，則h（t）在$t∈[\frac{1}{4}，1]$上是減函數(shù)，
所以$h{（t）_{max}}=h（\frac{1}{4}）=-\frac{1}{2}$；
令p（t）=2t²-t，則p（t）在$t∈[\frac{1}{4}，1]$上是增函數(shù)，
所以$p{（t）_{min}}=p（\frac{1}{4}）=-\frac{1}{8}$，
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍$[{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{8}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用：求最值，考查轉(zhuǎn)化思想和恒成立思想方法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．