Question

6．以直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，且兩坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位．已知曲線C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），將曲線C₁上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{2}$倍（橫坐標(biāo)不變），得到曲線C₂，直線l的極坐標(biāo)方程：$\sqrt{3}ρcosθ+2ρsinθ+m=0$．
（Ⅰ）求曲線C₂的參數(shù)方程；
（Ⅱ）若曲線C₂上的點(diǎn)到直線l的最大距離為$2\sqrt{7}$，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)曲線C₁上一點(diǎn)P（x₁，y₁）與曲線C₂上一點(diǎn)Q（x，y），由題知：$\left\{\begin{array}{l}x={x_1}\\ y=\frac{y_1}{2}\end{array}\right.$，由此能求出曲線C₂的參數(shù)方程．
（Ⅱ） 直線l的直角坐標(biāo)方程為：$\sqrt{3}x+2y+m=0$，求出曲線C₂上一點(diǎn)B（2cosθ，sinθ）到直線l的距離，由此能求出m的值．

解答 解：（Ⅰ） 設(shè)曲線C₁上一點(diǎn)P（x₁，y₁）與曲線C₂上一點(diǎn)Q（x，y），
由題知：$\left\{\begin{array}{l}x={x_1}\\ y=\frac{y_1}{2}\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（Ⅱ） 由題知可得：直線l的直角坐標(biāo)方程為：$\sqrt{3}x+2y+m=0$，
設(shè)曲線C₂上一點(diǎn)B（2cosθ，sinθ）到直線l的距離為d，
則$d=\frac{{|{2\sqrt{3}cosθ+2sinθ+m}|}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{|{4sin（{θ+\frac{π}{3}}）+m}|}}{{\sqrt{7}}}$，
當(dāng)m＞0時(shí)，${d_{max}}=\frac{4+m}{{\sqrt{7}}}=2\sqrt{7}$，解得：m=10，
當(dāng)m＜0時(shí)，${d_{max}}=\frac{4-m}{{\sqrt{7}}}=2\sqrt{7}$，解得：m=-10，
綜上所述：m=±10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的參數(shù)方程的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，涉及到參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．