Question

（2012•安徽模擬）已知函數(shù)f(x)=

a×2x-1

1+2x

(a∈R)．
（I）若a=2，且f(x)=-

3 2 -2

2

，求x的值；
（II）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（III）當a=5時，函數(shù)f（x）的圖象是否存在對稱中心，若存在，求其對稱中心；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）把a=2代入方程f(x)=-

3 2 -2

2

，再將其轉化為指數(shù)方程，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質解指數(shù)方程即可．
（II）根據(jù)題意求出函數(shù)的定義域是R，再由f（x）=-f（-x）列出方程，整理后利用對應項的系數(shù)相等，求出a的值．
（III）假設存在對稱中心，設其坐標為（h，k），則對任意x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，將函數(shù)的解析式代入其中化簡求出h，k的值，因而滿足條件的實數(shù)h，k存在，即存在對稱中心．

解答：解：（I）若a=2，則f(x)=

2×2x-1

1+2x

=

2×(2x+1)-3

1+2x

=2-

3

1+2x

≥2-

3

1

=-1，
由于-

3 2 -2

2

＜-1，故方程由f(x)=

2×2x-1

1+2x

=-

3 2 -2

2

無實數(shù)解．
（II）由題意知，函數(shù)的定義域是R，
∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x），
即

a×2x-1

1+2x

=-

a×2-x-1

1+2-x

，即

a×2x-1

1+2x

=-

a-2x

1+2x

，
解得a=1．
（III）當a=5時，f(x)=

5×2x-1

1+2x

．
假設函數(shù)f（x）的圖象是否存在對稱中心，設其坐標為（h，k），
則對任意x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，
即

5×2x+h-1

1+2x+h

+

5×2h-x-1

1+2h-x

=2k，
整理得，

4-2k=0 (10-2k)×22h-2-2k=0

，
解得

h=0 k=2

，
當a=5時，函數(shù)f（x）的圖象存在對稱中心，其對稱中心為（0，2）．

點評：本題的考點是利用函數(shù)奇偶性求值，即利用奇（偶）函數(shù)的定義列出方程，化簡后由對應項的系數(shù)相等求出參數(shù)的值，以及對稱性問題的處理方法，注意題目中所應用的函數(shù)的思想，屬于基礎題．