Question

已知數(shù)列{

1

n

}的前n項(xiàng)和是S_n．
（Ⅰ）分別計(jì)算S₂-S₁，S₄-S₂的值，并比較S2n-S2n-1與

1

2

的大小（不必證明）；
（Ⅱ）求使S₁+S₂+…+S_n-1=f（n）•（S_n-1）對(duì)于大于1的正整數(shù)n都成立的函數(shù)f（n），并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用已知條件計(jì)算S₂-S₁，S₄-S₂的值，推出S2n-S2n-1的值然后與

1

2

比較大小．
（Ⅱ）猜想S₁+S₂+…+S_n-1=f（n）•（S_n-1）對(duì)于大于1的正整數(shù)n都成立的函數(shù)f（n）的表達(dá)式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明推出的結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）S₂-S₁=

1

2

，S₄-S₂=

1

3

+

1

4

=

7

12

，
當(dāng)n≥1時(shí)，S2n-S2n-1=

1

2n-1+1

+

1

2n-1+2

+…+

1

2n

（共2^n-1項(xiàng)）≥

1

2n

×2^n-1=

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，等號(hào)成立．…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)n=2時(shí)，有1=f（2）（1+

1

2

-1）⇒f（2）=2，
n=3時(shí)，有

5

2

=f（3）（1+

1

2

+

1

3

-1）⇒f（3）=3，
由此猜想f（n）=n（n≥2）．…（6分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=2，3時(shí)，上面已證，猜想正確；
②設(shè)n=k （k≥2）時(shí)，f（k）=k即S₁+S₂+…+S_k-1=k（S_k-1成立
則S₁+S₂+…+S_k=k（S_k-1）+S_k
=（k+1）S_k-k=（k+1）（S_k+

1

k+1

-1）=（k+1）（S_k+1-1）
即n=k+1時(shí)，猜想也正確．
綜上所述，存在f（n）=n，使得S₁+S₂+…+S_n-1=f（n）•（S_n-1）對(duì)于大于1的正整數(shù)n都成立．  …（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列求和，數(shù)學(xué)歸納法的證明方法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計(jì)算能力．