Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2sinθ}\\{y=acosθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)，a＞0）和曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）若兩曲線有一個公共點在y軸上，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=2時，判斷兩曲線的交點個數(shù)．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2sinθ}\\{y=acosθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)，a＞0），利用配方關(guān)系化為普通方程．曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為y=-2x+4．與y軸相交于點（0，4）．根據(jù)兩曲線有一個公共點在y軸上，解得a．
（II）當(dāng)a=2時，曲線C₁的方程為：x²+y²=4．圓心C₁（0，0），半徑r=2．求出圓心到直線的距離與半徑比較健康判斷出位置關(guān)系與交點個數(shù)．

解答 解：（I）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2sinθ}\\{y=acosθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)，a＞0）化為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1．
和曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）化為y=-2x+4，與y軸相交于點（0，4）．
∵兩曲線有一個公共點在y軸上，∴0+$\frac{{4}^{2}}{{a}^{2}}$=1．a(chǎn)＞0，解得a=4．
（II）當(dāng)a=2時，曲線C₁的方程為：x²+y²=4．圓心C₁（0，0），半徑r=2．
圓心C₁（0，0）到直線C₂的距離d=$\frac{4}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$＜2．
∴直線C₂與曲線C₁相交，交點個數(shù)為2．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．