Question

已知向量

a

=(cosx，sinx)，

b

=(sin2x，1-cos2x)，

c

=(0，1)，x∈(0，π)．
（Ⅰ）向量

a

，

b

是否共線？請說明理由．
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)=|

b

|-(

a

+

b

)•

c

的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求

a

與

b

是否共線，只要根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示代入檢驗即可
（Ⅱ）先求出|

b

|及(

a

+

b

)•

c

，代入整理可得f（x）=-2sin²x+sinx，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及sinx∈（0，1]可求函數(shù)f（x）的最大值

解答：解：（Ⅰ）

a

與

b

共線．…（1分）
∵cosx•（1-cos2x）-sinx•sin2x=cosx•2sin²x-sinx•2sinx•cosx=0，
∴

a

與

b

共線．…（5分）
（Ⅱ）|

b

|=

sin22x+(1-cos2x)2

=

2(1-cos2x)

=

4sin2x

=2|sinx|，…（7分）
∵x∈（0，π），∴sinx＞0，，∴|

b

|=2sinx．…（8分）
∵

a

+

b

=（cosx+sin2x，sinx+1-cos2x）
∴(

a

+

b

)•

c

=（cosx+sin2x，sinx+1-cos2x）•（0，1）=sinx+1-cos2x=sinx+2sin²x…（10分）
∴f（x）=2sinx-sinx-2sin²x=-2sin²x+sinx=-2( sinx-

1

4

)2+

1

8

∵x∈（0，π）
∴sinx=

1

4

時函數(shù)f（x）的最大值

1

8

點評：本題主要考查了向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，向量數(shù)量積的運算性質(zhì)與三角函數(shù)的基本公式的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解等知識的綜合應(yīng)用．