Question

函數(shù)y=x²（x＞0）的圖象在點(diǎn)（a_n，a_n²）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a_n+1，n∈N^*，若a₁=16，則a₃+a₅=    ，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到y(tǒng)^′=2x，得到函數(shù)y=x²（x＞0）的圖象在點(diǎn)（a_n，a_n²）處的切線的斜率是2a_n，根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線的方程，求出切線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得到數(shù)列遞推式，看出數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，寫(xiě)出通項(xiàng)．
解答：解：∵對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到y(tǒng)^′=2x
∴函數(shù)y=x²（x＞0）的圖象在點(diǎn)（a_n，a_n²）處的切線的斜率是2a_n
∴在點(diǎn)（a_n，a_n²）處的切線方程為：y-a_k²=2a_k（x-a_k），
∵切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a_n+1，
當(dāng)y=0時(shí)，解得x=，
∴a _k+1=a_k，
∴數(shù)列是一個(gè)公比為的等比數(shù)列，
首項(xiàng)是16，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為16×=16×2^1-n=2^5-n
故答案為：2^5-n
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列和函數(shù)的綜合，本題解題的關(guān)鍵是寫(xiě)出數(shù)列遞推式，求出兩個(gè)項(xiàng)之間的關(guān)系，得到數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列．