3．已知實(shí)數(shù)a，b，c，滿足0＜a≤b≤c≤$\frac{1}{2}$，求證：$\frac{2}{c（1-c）}$≤$\frac{1}{a（1-b）}$+$\frac{1}{b（1-a）}$．

分析 證明$\frac{c}{c（1-c）}$≤$\frac{1}{a（1-a）}$，$\frac{1}{a（1-a）}$≤$\frac{1}{a（1-b）}$，$\frac{c}{c（1-c）}$≤$\frac{1}{a（1-b）}$，同理$\frac{c}{c（1-c）}$≤$\frac{1}{b（1-a）}$，即可證明結(jié)論．

解答 證明：∵0＜a≤c≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{c}{c（1-c）}$-$\frac{1}{a（1-a）}$=$\frac{ac（c-a）}{ca（1-c）（1-a）}$≤0，
∴$\frac{c}{c（1-c）}$≤$\frac{1}{a（1-a）}$，
∵0＜a≤b≤$\frac{1}{2}$，
∴1-a≥1-b＞0，
∴a（1-a）≥a（1-b）＞0，
∴$\frac{1}{a（1-a）}$≤$\frac{1}{a（1-b）}$，
∴$\frac{c}{c（1-c）}$≤$\frac{1}{a（1-b）}$，
同理$\frac{c}{c（1-c）}$≤$\frac{1}{b（1-a）}$，
∴$\frac{2}{c（1-c）}$≤$\frac{1}{a（1-b）}$+$\frac{1}{b（1-a）}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查作差法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

13．圓（x-1）2+（y+3）2=2的圓心和半徑分別為（　�。�
A．（1，-3），$\sqrt{2}$B．（-1，3），2C．（1，3），2D．（-1，3），$\sqrt{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．如圖所示，質(zhì)量a=2.0kg的物體在水平外力的作用下在水平面上運(yùn)動(dòng)，已知物體運(yùn)動(dòng)過程中的坐標(biāo)與時(shí)間的關(guān)系為 $\left\{\begin{array}{l}{x=3.0t（m）}\\{y=0.2{t}^{2}（m）}\end{array}\right.$，g=10m/s2 ，根據(jù)以上條件，求：
（1）t=10s時(shí)刻物體的位置坐標(biāo)；
（2）t=10s時(shí)刻物體的速度和加速度的大小和方向．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

11．給出以下命題：
①存在兩個(gè)不等實(shí)數(shù)α，β，使得等式sin（α+β）=sinα+sinβ成立；
②若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且am+an=as+at（m、n、s、t∈N*），則m+n=s+t；
③若Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S6，S12-S6，S18-S12成等比數(shù)列；
④若Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn=Aqn+B；（其中A、B是非零常數(shù)，n∈N*），則A+B為零；
⑤已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a2+b2＞c2，則△ABC一定是銳角三角形．
其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（　　）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

18．對(duì)任意非零實(shí)數(shù)a、b，若a?b的運(yùn)算原理如圖所示，則$\sqrt{2}$?2=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

8．已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)F1、F2都在x軸上，記橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，若△PF1F2是以PF1（F1為左焦點(diǎn)）為底邊的等腰三角形，雙曲線的離心率為2，則橢圓的離心率為$\frac{2}{5}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

15．給出下列命題：
①函數(shù)f（x）=sinx，g（x）=sin|x|都是周期函數(shù)；
②把函數(shù)f（x）=2sin2x圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，然后再向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到的函數(shù)解析式可以表示為g（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）；
③方程sinx=tanx，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）的實(shí)數(shù)解有3個(gè)；
④函數(shù)y=cosx，x∈[0，2π]的圖象與直線y=1圍成的圖形面積等于2π；
⑤函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則2為f（x）的一個(gè)周期．
其中正確的命題是④⑤．（把正確命題的序號(hào)都填上）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

12．設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，z1=1-i，則$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=（　�。�
A．2B．1+iC．iD．-i

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

13．將函數(shù)f（x）=sin2x圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象．則g（x）=$sin（x+\frac{π}{4}）$．

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