【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若恒成立,試確定實數(shù)k的取值范圍;
(3)證明:且
【答案】(1)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù);(2);(3)證明見解析.
【解析】
(1)求函數(shù)定義域,再求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù),判斷函數(shù)的單調(diào)性即可;
(2)對參數(shù)進(jìn)行分類討論,求得不同情況下函數(shù)的單調(diào)性以及最大值,即可求得參數(shù)的取值范圍;
(3)根據(jù)(1)中的結(jié)論,構(gòu)造不等式,進(jìn)而利用數(shù)列求和,即可證明.
(1)易知的定義域為,又
當(dāng)時,;當(dāng)時,
在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).
(2)當(dāng)時,,不成立,故只考慮的情況
又
當(dāng)時,當(dāng)時,;當(dāng)時,
在上是增函數(shù),在時減函數(shù)
此時
要使恒成立,只要即可
解得:.
(3)當(dāng)時,有在恒成立,
且在上是減函數(shù),,
即在上恒成立,
令,則,
即,
即:成立.
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【題目】如圖,正三角形ABE與菱形ABCD所在的平面互相垂直,,,M是AB的中點,N是CE的中點.
(1)求證:;
(2)求證:平面ADE;
(3)求點A到平面BCE的距離.
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【題目】中國在歐洲的某孔子學(xué)院為了讓更多的人了解中國傳統(tǒng)文化,在當(dāng)?shù)嘏e辦了一場由當(dāng)?shù)厝藚⒓拥闹袊鴤鹘y(tǒng)文化知識大賽,為了了解參加本次大賽參賽人員的成績情況,從參賽的人員中隨機抽取名人員的成績(滿分100分)作為樣本,將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析整理后畫出頻率分布直方圖如圖所示,已知抽取的人員中成績在[50,60)內(nèi)的頻數(shù)為3.
(1)求的值和估計參賽人員的平均成績(保留小數(shù)點后兩位有效數(shù)字);
(2)已知抽取的名參賽人員中,成績在[80,90)和[90,100]女士人數(shù)都為2人,現(xiàn)從成績在[80,90)和[90,100]的抽取的人員中各隨機抽取2人,記這4人中女士的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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【題目】勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的曲線,它是由德國機械工程專家、機構(gòu)運動學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn),其作法是:以等邊三角形每個頂點為圓心,以邊長為半徑,在另兩個頂點間作一段弧,三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.如圖中的兩個勒洛三角形,它們所對應(yīng)的等邊三角形的邊長比為,若從大的勒洛三角形中隨機取一點,則此點取自小勒洛三角形內(nèi)的概率為______.
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【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的極值點;
(2)當(dāng)時,當(dāng)函數(shù)恰有三個不同的零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)與函數(shù)在處有相同的切線,求實數(shù)的值;
(2)當(dāng)時, ,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知拋物線上一點到焦點的距離為6,點為其準(zhǔn)線上的任意一點,過點作拋物線的兩條切線,切點分別為.
(1)求拋物線的方程;
(2)當(dāng)點在軸上時,證明:為等腰直角三角形.
(3)證明:為直角三角形.
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【題目】設(shè),為橢圓的左、右焦點,動點的坐標(biāo)為,過點的直線與橢圓交于,兩點.
(3)求,的坐標(biāo);
(4)若直線,,的斜率之和為0,求的所有整數(shù)值.
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【題目】義烏國際馬拉松賽,某校要從甲乙丙丁等人中挑選人參加比賽,其中甲乙丙丁人中至少有人參加且甲乙不同時參加,丙丁也不同時參加,則不同的報名方案有( )
A.B.C.D.
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