Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，公比為q，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

．
（Ⅰ）求a_n與b_n； 
（Ⅱ）求數(shù)列{c_n}滿(mǎn)足cn=

1

Sn

，求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用b₂+S₂=12，q=

S2

b2

，b₁=1，公比為q，建立方程組求出公差與公比，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)；
（Ⅱ）先求等差數(shù)列的和，再利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則
∵b₂+S₂=12，q=

S2

b2

，b₁=1，公比為q
∴

q+6+d=12 q= 6+d q

∴q=3或q=-4（舍去）
∴d=3
∴a_n=3+3（n-1）=3n，b_n=3^n-1．
（Ⅱ）∵S_n=

n(3+3n)

2

∴cn=

1

Sn

=

2

3

（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=

2

3

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

2

3

(1-

1

n+1

)=

2n

3(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的求和，確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和是關(guān)鍵．