Question

【題目】已知正三棱柱ABC﹣A′B′C′如圖所示，其中G是BC的中點，D，E分別在線段AG，A′C上運動，使得DE∥平面BCC′B′，CC′=2BC=4．
（1）求二面角A′﹣B′C﹣C′的余弦值；
（2）求線段DE的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，

∵ABC﹣A′B′C′為正三棱柱，G是BC的中點，

∴AG⊥平面BCC′B′，以GB所在直線為x軸，以過G且垂直于BG的直線為y軸，以GA所在直線為z軸建立空間直角坐標系，

則G（0，0，0），A（0，0， ），C（﹣1，0，0），B′（1，4，0），A′（0，4， ），

=（1，4， ）， ，

平面B′CC′的一個法向量為 ，

設(shè)平面A′B′C的一個法向量為 ，

由 ，取y=1，得x=﹣2，z= ．

∴ ，

∴cos＜ ＞= = = ．

∴二面角A′﹣B′C﹣C′的余弦值為 ；

（2）設(shè)D（0，0，t）（0≤t≤ ），E（x，y，z），

則 ，∴（x+1，y，z）=（λ，4λ， ），即x=λ﹣1，y=4λ，z= ．

∴E（λ﹣1，4λ， ）， =（λ﹣1，4λ， ），

由DE∥平面BCC′B′，得 ，得λ= ．

∴ = ，

當t= 時， 有最小值 ，

∴線段DE的最小值為 ．

【解析】（1）由題意畫出圖形，以GB所在直線為x軸，以過G且垂直于BG的直線為y軸，以GA所在直線為z軸建立空間直角坐標系，求出平面B′CC′與平面A′B′C的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值求得二面角A′﹣B′C﹣C′的余弦值；（2）設(shè)D（0，0，t）（0≤t≤ ），E（x，y，z），由 ，結(jié)合DE∥平面BCC′B′把λ用含有t的代數(shù)式表示，然后求出 的最小值得答案．