Question

9．已知圓C：x²+（y-4）²=100，點A為圓C上的動點，點B的坐標為（0，-4），動點P滿足$\overrightarrow{CP}$=$λ\overrightarrow{PA}$（λ＞0），（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$-2$\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）=0，則點P的軌跡方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1

Answer 1

分析 作出圓的圖象，根據(jù)向量數(shù)量積的定義判斷，P的軌跡是以C，B為焦點的橢圓，求出a，b，即可得到結論．

解答 解：作出圓的圖象如圖，則C（0，4），
∵點A為圓C上的動點，
∴CA=R=10，
∵是D是AB的中點，
∴由（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$-2$\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）=0得（2$\overrightarrow{OD}$-2$\overrightarrow{OP}$）•$\overrightarrow{BA}$=0，
即2$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{BA}$=0，
則PD⊥AB，
∵D是AB的中點，
∴△ABP是等腰三角形，
則PD=PB，
∵CA=CP+PAR=CP+PB=10＞AB=8，
∴P的軌跡是以C，B為焦點的橢圓，
則c=4，2a=10，即a=5，則b²=a²-c²=25-16=9，
即點P的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1，
故選：D

點評 本題主要考查點的軌跡方程的求解，結合向量數(shù)量積的應用，轉化為橢圓的定義是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．