Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₂=5，S₅=35．設(shè)數(shù)列{b_n}滿足a_n=log₂b_n．
（1）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（2）設(shè)G_n=a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n，求G_n．

Answer 1

分析：（1）由題意得

a1+d=5 5a1+10d=35

，解出a₁，d可得a_n，進(jìn)而由a_n=log₂b_n可得b_n，易判斷{b_n}為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式可求得T_n；
（2）利用錯(cuò)位相減法可求得G_n．

解答：解：（1）由題意得

a1+d=5 5a1+10d=35

，解得

a1=3 d=2

，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
由a_n=log₂b_n，得bn=2an=2²ⁿ⁺¹，
∴

bn+1

bn

=

22n+3

22n+1

=4，
∴數(shù)列{b_n}是以4為公比，b1=23=8的等比數(shù)列，
∴Tn=23+25+…+22n+1=

8(1-4n)

1-4

=

8

3

(4n-1)．     
（2）G_n=3•2³+5•2⁵+…+（2n+1）•2²ⁿ⁺¹，
將上式兩端同時(shí)乘以4，得4Gn=3•25+5•27+…+(2n-1)•22n+1+（2n+1）•2²ⁿ⁺³，
兩式相減，得-3Gn=3•23+（2•2⁵+2•2⁷+…+2•2²ⁿ⁺¹）-（2n+1）•2²ⁿ⁺³
=24+（2⁶+2⁸+…+2²ⁿ⁺²）-（2n+1）•2²ⁿ⁺³
=24+

64(1-4n-1)

1-4

-（2n+1）•2²ⁿ⁺³
=

8-(48n+8)•4n

3

，
∴Gn=

(48n+8)•4n-8

9

．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式，錯(cuò)位相減法對數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，要熟練掌握．