Question

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCE-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）試確定點(diǎn)F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（2）當(dāng)D₁E⊥平面AB₁F時(shí)，求二面角C₁-EF-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，表示出直線D₁E所在的向量與AF所在的向量，利用線面垂直關(guān)系得到向量的數(shù)量積為0，進(jìn)而得到答案．
（2）分別求出兩個(gè)平面的法向量，再求出兩個(gè)向量的夾角，利用向量的夾角與二面角之間的關(guān)系可得二面角的余弦值．

解答：解：（1）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，

AB

，

AD

，

AA1

分別為x軸，y軸，z軸正向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A（0，0，0），B₁（1，0，1），E（1，

1

2

，0）
設(shè)F（a，1，0）（0≤a≤1）則

D1E

=(1，-

1

2

，-1)，

AB1

=(1，0，1)，

AF

=(a，1，0)，
∴

D1E

• 

AB1

=0即D₁E⊥AB₁
要使得D₁E⊥平面AB₁F，
∴必須且只需

D1E

⊥

AF

即

D1E

•

AF

=a-

1

2

=0，即：a=

1

2

．
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，則D₁E⊥AF
又因?yàn)镈₁E⊥AB₁，AF∩AB₁=A
所以D₁E⊥平面AB₁F．
所以當(dāng)點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)時(shí)，D₁E⊥平面AB₁F．
（2）由（1）可得點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，所以F（

1

2

，1，0），所以

EF

=(-

1

2

，

1

2

，0)．
因?yàn)?span id="u0a2aca" class="MathJye">C1(1，1，1)，E(1，

1

2

，0)，所以

EC1

=(0，

1

2

，1)．
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面C1EF的一個(gè)法向量，
則

n

⊥

EC1

，

n

⊥

EF

，
于是

n • EC1 = 1 2 y+z=0  n • EF =- 1 2 x+ 1 2 y=0

取z=1，則y=-2，x=-2，所以

n

=（-2，-2，1）是平面C₁EF的一個(gè)法向量．
又因?yàn)?span id="mi2q0ow" class="MathJye">

AA1

=（0，0，1）是平面AEF的一個(gè)法向量，
所以cos＜

AA1

，

n

＞=

AA1 • n

| AA1 || n |

=

1

3

，
因?yàn)槎�面角C₁-EF-A為鈍角，所以二面角C₁-EF-A的余弦值-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)而利用空間向量解決線面垂直、平行關(guān)系，以及空間角與空間距離等問(wèn)題．