已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的最大值;
(2)若,求
的取值范圍.
(3)證明: +
(n
)
(1)0;(2);(3)詳見解析.
解析試題分析:(1)先求,再利用
判斷函數(shù)
的單調(diào)性并求最值;
(2)思路一:由,分
,
,
三種情況研究函數(shù)
的單調(diào)性,判斷
與
的關系,確定
的取值范圍.
思路二:由,因為
,所以
令,
,顯然
,知
為單調(diào)遞減函數(shù),
結(jié)合在
上恒成立,可知
在
恒成立,轉(zhuǎn)化為
,從而求得
的取值范圍.
(3)在中令
,得
時,
.將
代入上述不等式,再將得到的
個不等式相加可得結(jié)論.
解證:(1), 1分
當時,
;當
時,
;當
時,
;
所以函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞增,在區(qū)間
上單調(diào)遞減; 3分
故. 4分
(2)解法一:, 5分
當時,因為
時
,所以
時,
; 6分
當時,令
,
.
當時,
,
單調(diào)遞減,且
,
故在
內(nèi)存在唯一的零點
,使得對于
有
,
也即.所以,當
時
; 8分
當時,
時
,所以,當
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ax-ln x,g(x)=,它們的定義域都是(0,e],其中e是自然對數(shù)的底e≈2.7,a∈R.
(1)當a=1時,求函數(shù)f(x)的最小值;
(2)當a=1時,求證:f(m)>g(n)+對一切m,n∈(0,e]恒成立;
(3)是否存在實數(shù)a,使得f(x)的最小值是3?如果存在,求出a的值;如果不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
為常數(shù).
(1)若函數(shù)在
處的切線與
軸平行,求
的值;
(2)當時,試比較
與
的大;
(3)若函數(shù)有兩個零點
、
,試證明
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),且
.
(1)求的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)設函數(shù),若函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=alnx+bx2圖象上點P(1,f(1))處的切線方程為2x-y-3=0.
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)函數(shù)g(x)=f(x)+m-ln4,若方程g(x)=0在[,2]上恰有兩解,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ln x-ax+1在x=2處的切線斜率為-.
(1)求實數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設g(x)=,對?x1∈(0,+∞),?x2∈(-∞,0)使得f(x1)≤g(x2)成立,求正實數(shù)k的取值范圍;
(3)證明: +
+…+
<
(n∈N*,n≥2).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)若函數(shù)的圖象切x軸于點(2,0),求a、b的值;
(2)設函數(shù)的圖象上任意一點的切線斜率為k,試求
的充要條件;
(3)若函數(shù)的圖象上任意不同的兩點的連線的斜率小于l,求證
.
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