Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程是x²+y²=4．
（Ⅰ）過點(diǎn)（5，3）作直線l與圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若OE⊥OF，求直線l的斜率；
（Ⅱ）如圖，設(shè)M（x₁，y₁），P（x₂，y₂）是圓C上兩個動點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為M₁，關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為M₂，若直線PM₁，PM₂與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，m）和（0，n），試問：mn是否是定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y-3=k（x-5），即kx-y-5k+3=0，利用圓心到直線l的距離為$\sqrt{2}$，建立方程，即可求直線l的斜率；
（Ⅱ）先求出M₁和點(diǎn)M₂的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式求直線PM₁ 和PM₂的方程，根據(jù)方程求得他們在y軸上的截距m、n的值，計算mn的值，可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意，C（0，0），半徑r=2，點(diǎn)（5，3）在圓外，
設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y-3=k（x-5），即kx-y-5k+3=0，
∵圓心到直線l的距離為$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$=$\frac{|-5k+3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，∴k=1或$\frac{7}{23}$，
∴直線l的斜率為1或$\frac{7}{23}$；
（Ⅱ）由于M（x₁，y₁）、P（x₂，y₂）是圓O上的兩個動點(diǎn)，則可得M₁（-x₁，-y₁）、M₂（x₁，-y₁），且x₁²+y₁²=4，x₂²+y₂²=4．
根據(jù)PM₁的方程為$\frac{y+{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$，令x=0求得y=m=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$．
根據(jù)PM₂的方程為$\frac{y+{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，令x=0求得y=n=$\frac{-{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
∴mn=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$•$\frac{-{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{{x}_{2}}^{2}（4-{{x}_{1}}^{2}）-{{x}_{1}}^{2}（4-{{x}_{2}}^{2}）}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=4為定值．

點(diǎn)評 本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，用兩點(diǎn)式求直線的方程、求直線在y軸上的截距，屬于中檔題．