Question

設a∈R，函數(shù)f（x）=ax³-3x²．
（Ⅰ）若x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點，求a的值；
（Ⅱ）設函數(shù)g（x）=f（x）+f′（x），若g（x）≤0對一切x∈（0，2]都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,導數(shù)的運算,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．由f′（2）=0，得a=1．經驗證，當a=1時，x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點．
（Ⅱ）由題設，g（x）=ax³+3（a-1）x²-6x．由ax³+3（a-1）x²-6x≤0對一切x∈（0，2]都成立，令φ（x）=

3x+6

x2+3x

，x∈（0，2]，則a≤φ（x）_min由φ′（x）=

-3(x+2)2-6

(x2+3x)2

＜0，可知φ（x）=

3x+6

x2+3x

在x∈（0，2]上單調遞減，從而φ（x）_min=φ（2）=

6

5

，靜兒求出a的取值范圍是（-∞，

6

5

]．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
∵x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點，
∴f′（2）=0，即6（2a-2）=0，
∴a=1．
經驗證，當a=1時，x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點．
（Ⅱ）由題設，g（x）=ax³+3（a-1）x²-6x．
ax³+3（a-1）x²-6x≤0對一切x∈（0，2]都成立，
即a≤

3x+6

x2+3x

對一切x∈（0，2]都成立．
令φ（x）=

3x+6

x2+3x

，x∈（0，2]，則a≤φ（x）_min
由φ′（x）=

-3(x+2)2-6

(x2+3x)2

＜0，
可知φ（x）=

3x+6

x2+3x

在x∈（0，2]上單調遞減，
∴φ（x）_min=φ（2）=

6

5

，
故a的取值范圍是（-∞，

6

5

]．

點評：本題考察了函數(shù)的單調性，函數(shù)的極值，最值問題，導數(shù)的應用，是一道綜合題．