Question

設(shè)函數(shù)，g（x）=x+1，對任意x∈[1，+∞），都有f（mx）≤mg（x）恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．

Answer 1

分析：通過已知條件，得到m與x的不等式，通過m＞0與m＜0，分別借助二次函數(shù)求出m的范圍即可．
解答：函數(shù)，g（x）=x+1，對任意x∈[1，+∞），都有f（mx）≤mg（x）恒成立，
所以，
①當(dāng)m＞0時，上式化為m²x（x+1）-1≥0，即m²x²+m²x-1≥0，
函數(shù)y=m²x²+m²x-1的對稱軸x=-，開口向上，
對任意x∈[1，+∞），都有f（mx）≤mg（x）恒成立，
必有f（1）≥0，即2m²-1≥0，因?yàn)閙＞0解得m∈．
②當(dāng)m＜0時，因?yàn)閤∈[1，+∞），所以，
即m²x²+m²x-1≤0，函數(shù)y=m²x²+m²x-1的對稱軸x=-，開口向上，
對任意x∈[1，+∞），都有f（mx）≤mg（x）恒成立，
顯然不成立，
綜上實(shí)數(shù)m的取值范圍是：．
點(diǎn)評：本題考查恒成立問題的應(yīng)用，分類討論與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力．