如圖，在體積為的正三棱錐中，長(zhǎng)為，為棱的中點(diǎn)，求

（1）異面直線與所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）正三棱錐的表面積．

（1）；（2）．

解析試題分析：（1）本題求異面直線所成的角，根據(jù)定義要把這個(gè)角作出來，一般平移其中一條，到與另一條相交為此，題中由于有的中點(diǎn)，因此我們以中點(diǎn)，就有，那么就是所求的角（或其補(bǔ)角）；（2）要求正三棱錐的表面積，必須求得斜高，由已知體積，可以先求得棱錐的高，取的中心，那么就是棱錐的高，下面只要根據(jù)正棱錐的性質(zhì)（正棱錐中的直角三角形）應(yīng)該能求得側(cè)棱長(zhǎng)或斜高，有了斜高，就能求得棱錐的側(cè)面積了，再加上底面積，就得到表面積了．
試題解析：（1）過點(diǎn)作平面，垂足為，則為的中心，由得（理1分文2分）
又在正三角形中得，所以           （理2分文4分）
取中點(diǎn)，連結(jié)、，故∥，
所以就是異面直線與所成的角．（理4分文6分）
在△中，，，      （理5分文8分）
所以．      （理6分文10分）
所以，異面直線與所成的角的大小為． （理7分文12分）

（2）由可得正三棱錐的側(cè)面積為
           （理10分）
所以正三棱錐的表面積為
．            （理12分）
考點(diǎn)：（1）異面直線所成的角；（2）棱錐的體積與表面積．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，在四棱錐中，平面，，，是的中點(diǎn)，是上的點(diǎn)且，為△中邊上的高.
（1）證明：平面；
（2）若，，，求三棱錐的體積；
（3）證明：平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱柱中，底面ABCD和側(cè)面都是矩形，E是CD的中點(diǎn)，，
.
（1）求證：；
（2）若，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在五面體中，已知平面，，，，．

（1）求證：；
（2）求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知幾何體由正方體和直三棱柱組成，其三視圖和直觀圖（單位：cm）如圖所示．設(shè)兩條異面直線和所成的角為，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖在四棱錐中，底面是矩形，平面，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)時(shí)，判斷與平面的位置關(guān)系，并加以證明；
（2）證明：無論點(diǎn)在邊的何處，都有；
（3）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，頂點(diǎn)A1在底面ABC上的射影恰為點(diǎn)B，且AB=AC=A1B=2.
 
(1)證明：平面A1AC⊥平面AB1B；
（2）若點(diǎn)P為B1C1的中點(diǎn)，求三棱錐P-ABC與四棱錐P-AA1B1B的體積之比.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)倒圓錐形容器的軸截面為一個(gè)等邊三角形，在此容器內(nèi)注入水，并浸入半徑為的一個(gè)實(shí)心球，使球與水面恰好相切，試求取出球后水面高為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知四棱錐P－ABCD的正視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為4、腰長(zhǎng)為3的等腰三角形，如圖分別是四棱錐P－ABCD的側(cè)視圖和俯視圖．

(1)求證：AD⊥PC；
(2)求四棱錐P－ABCD的側(cè)面PAB的面積．

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