Question

16．已知函數(shù)f（x）=lnx+x²-2ax+1（a為常數(shù)）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意的$a∈（{1，\sqrt{2}}）$，都存在x₀∈（0，1]使得不等式$f（{x_0}）+lna＞m（{a-{a^2}}）$成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)a≤0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)恒大于0，然后利用二次函數(shù)的判別式對(duì)a分類(lèi)討論求出導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，得到原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由（1）知，$a∈（{1，\sqrt{2}}）$時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，求出函數(shù)在（0，1]上的最大值2-2a，把存在x₀∈（0，1]使得不等式$f（{x_0}）+lna＞m（{a-{a^2}}）$成立轉(zhuǎn)化為2-2a+lna＞m（a-a²），得到$m＞\frac{2}{a}+\frac{lna}{{a-{a^2}}}$恒成立，構(gòu)造函數(shù)$g（a）=\frac{2}{a}+\frac{lna}{{a-{a^2}}}，a∈（{1，\sqrt{2}}）$，求導(dǎo)可知為增函數(shù)，得其最大值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍可求．

解答 解：（1）由f（x）=lnx+x²-2ax+1，得$f'（x）=\frac{1}{x}+2x-2a=\frac{{2{x^2}-2ax+1}}{x}，x＞0$，
令h（x）=2x²-2ax+1．
①當(dāng)a≤0時(shí)，h（x）＞0，則f'（x）＞0成立，
△=4a²-8，當(dāng)$-\sqrt{2}≤a≤\sqrt{2}$時(shí)，△≤0，則2x²-2ax+1≥0，h（x）≥0，即f'（x）≥0恒成立，
∴當(dāng)$a≤\sqrt{2}$時(shí)，f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)$a＞\sqrt{2}$時(shí)，由2x²-2ax+10≥0，得$x＞\frac{{a+\sqrt{{a^2}-2}}}{2}$或$0＜x＜\frac{{a-\sqrt{{a^2}-2}}}{2}$，
由2x²-2ax+10＜0，得$\frac{{a-\sqrt{{a^2}-2}}}{2}＜x＜\frac{{a+\sqrt{{a^2}-2}}}{2}$．
∴f（x）在$（{0，\frac{{a-\sqrt{{a^2}-2}}}{2}}），（{\frac{{a+\sqrt{{a^2}-2}}}{2}}）$上單調(diào)遞增，在$（{\frac{{a-\sqrt{{a^2}-2}}}{2}，\frac{{a+\sqrt{{a^2}-2}}}{2}}）$單調(diào)遞減；
（2）∵$a∈（{1，\sqrt{2}}），\frac{1}{x}+2x-2a＞0$，
∴f'（x）＞0，f（x）在（0，1]單調(diào)遞增，f（x）_max=f（1）=2-2a，
存在x₀∈（0，1]使得不等式$f（{x_0}）+lna＞m（{a-{a^2}}）$成立，
即2-2a+lna＞m（a-a²），
∵任意的$a∈（{1，\sqrt{2}}）$，∴a-a²＜0，即$m＞\frac{2}{a}+\frac{lna}{{a-{a^2}}}$恒成立，
令$g（a）=\frac{2}{a}+\frac{lna}{{a-{a^2}}}$，則$g'（a）=\frac{{（{2a-1}）lna-（{2{a^2}-3a+1}）}}{{{{（{a-{a^2}}）}^2}}}=\frac{{（{2a-1}）（{lna-a+1}）}}{{{{（{a-{a^2}}）}^2}}}$，
∵任意的$a∈（{1，\sqrt{2}}）$，$\frac{{（{2a-1}）（{lna-a+1}）}}{{{{（{a-{a^2}}）}^2}}}＞0$，
∴$g（a）=\frac{2}{a}+\frac{lna}{{a-{a^2}}}，a∈（{1，\sqrt{2}}）$是增函數(shù)，
∴$g（x）＜g（{\sqrt{2}}）=\frac{2}{{\sqrt{2}}}+\frac{{ln\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}-2}}=\sqrt{2}-\frac{{（{2+\sqrt{2}}）ln\sqrt{2}}}{2}$，
∵$m＞\frac{2-2a+lna}{{a-{a^2}}}$恒成立，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍$m≥\sqrt{2}-\frac{{（{2+\sqrt{2}}）ln\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．