Question

【題目】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，離心率為且過(guò)點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與該橢圓相交于、兩點(diǎn).

（1）若線(xiàn)段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線(xiàn)的方程；

（2）在軸上是否存在點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）橢圓的離心率公式，及的關(guān)系，求得，得到橢圓的方程；設(shè)出直線(xiàn)的方程，將直線(xiàn)方程代入橢圓，用舍而不求和韋達(dá)定理方法表示出中點(diǎn)坐標(biāo)，此時(shí)代入已知中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求出直線(xiàn)的方程；（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使為常數(shù)，分別分當(dāng)與軸不垂直時(shí)以及當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后綜合兩種情況得出結(jié)論．

試題解析：（1）易求橢圓的方程為，

直線(xiàn)斜率不存在時(shí)顯然不成立，設(shè)直線(xiàn)，

將代入橢圓的方程，

消去整理得，

設(shè)，則，

因?yàn)榫�(xiàn)段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，解得，

所以直線(xiàn)的方程為．

（2）假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使得為常數(shù)，

①當(dāng)直線(xiàn)與軸不垂直時(shí)，由（1）知，

所以

，

因?yàn)?/span>是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，從而有，

此時(shí)

②當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，此時(shí)結(jié)論成立，

綜上可知，在軸上存在定點(diǎn)，使，為常數(shù)