設(shè)拋物線(xiàn)y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，且BC∥x軸.證明直線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.

答案：
解析：

證明：解法一：設(shè)直線(xiàn)方程為y＝k（x）（如圖1）

A（x1，y1），B（x2，y2），C（，y2）

∴

∴

又∵y12＝2px1  ∴kOC＝＝kOA

即k也是直線(xiàn)OA的斜率，所以AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.

當(dāng)k不存在時(shí)，AB⊥x軸，同理可得kOA＝kOC

解法二：如圖2，過(guò)A作AD⊥l，D為垂足，

則：AD∥EF∥BC

連結(jié)AC與EF相交于點(diǎn)N，

則

由拋物線(xiàn)的定義可知：|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|

∴|EN|＝＝|NF|.


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(1)求證：y1y2＝－p2；

(2)求證：直線(xiàn)MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列．

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設(shè)拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(yíng)(x1，y1)、B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)兩點(diǎn)，M是拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上的一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線(xiàn)MA、MF、MB的斜率分別記為：kMA＝a、kMF＝b、kMB＝c，(如圖)

(1)若y1y2＝－4，求拋物線(xiàn)的方程；

(2)當(dāng)b＝2時(shí)，求證：a＋c為定值．

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設(shè)拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞ 0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(yíng)、B兩點(diǎn).點(diǎn)C在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，且BC∥x軸.證明直線(xiàn) AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.

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設(shè)拋物線(xiàn)y2＝2Px（P＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0，2).若線(xiàn)段FA的中點(diǎn)B在拋物線(xiàn)上，則B到該拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為        .

 

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