Question

若對任意的2≤x≤5，不等式

x

x2+3x+1

≤a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：若對任意的2≤x≤5，不等式

x

x2+3x+1

≤a恒成立，只需a大于或等于

x

x2+3x+1

的最大值即可．將f（x）化為=

1

x+ 1 x +3

  結(jié)合基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性求最大值．

解答：解：若對任意的2≤x≤5，不等式

x

x2+3x+1

≤a恒成立，只需a大于或等于

x

x2+3x+1

的最大值即可．
假設(shè)f（x）=

x

x2+3x+1

=

1

x+ 1 x +3

  （2≤x≤5 ），令t=x+

1

x

，t′=1-

1

x2

＞0，t在[2，5]上是增函數(shù)，當(dāng)x=2時，t的最小值是2+

1

2

=

5

2

，從而f（x）的最大值是

1

5 2 +3

=

2

11

，
∴實數(shù)a的取值范圍是 [

2

11

，+∞)．
故答案為：[

2

11

，+∞)．

點評：本題考查不等式恒成立的條件，分式函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化、計算能力．本題的易錯點在于誤認為t=x+

1

x

≥2，忽視驗證等號能否取到．