Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求證：A₁C⊥面DBC₁
（2）求二面角C₁-AB-D的大小
（3）求AD₁與面B B₁ D₁D所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定定理：可證BD⊥A₁C，BC₁⊥A₁C；
（2）易知∠C₁BC為二面角C₁-AB-D的平面角，通過等腰直角三角形可求得其大��；
（3）連接AC交BD于點O，連接OD₁，易證∠AD₁O為AD₁與面BB₁D₁D所成的角，通過解直角三角形可求；

解答：（1）證明：圖形如右所示：
∵BD⊥AC，BD⊥AA₁
∴BD⊥面AA₁C₁C，
∴BD⊥A₁C，
同理BC₁⊥A₁C，
∴A₁C⊥面DBC₁；
 （2）在正方體中，可知AB⊥BC，AB⊥BC₁，則∠C₁BC為二面角C₁-AB-D的平面角，
在等腰直角三角形BCC₁中，∠C₁BC=45°，
所以二面角C₁-AB-D的大小為45⁰；
（3）連接AC交BD于點O，連接OD₁，
∵AC⊥BD，AC⊥BB₁，
∴AC⊥平面B B₁ D₁D，則∠AD₁O為AD₁與面BB₁D₁D所成的角，
在Rt△AOD₁中，sin∠AD₁O=

1

2

，
所以∠AD₁O=30°，即所求線面角的大小為30°；

點評：本題考查空間位置關系、空間角的求解，考查學生的推理論證能力，屬中檔題．