Question

已知f（x）定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf′（x）-f（x）≥0，對于任意的正數(shù)a，b，若a＜b，
①af（b）≤bf（a）
②af（b）≥bf（a）
③af（a）≤bf（b）
④af（a）≥bf（b）
其中正確的是

②③

．

Answer 1

分析：分別構(gòu)建函數(shù)g（x）=xf（x），h（x）=

f(x)

x

，利用xf'（x）-f（x）≥0，確定它們的單調(diào)性，從而可得結(jié)論．

解答：解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x）
∴g′（x）=xf'（x）+f（x）
∵xf'（x）-f（x）≥0，又f（x）定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)
∴g′（x）≥2f（x）≥0
∴g（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)
∵a＜b，
∴g（a）＜g（b）
∴af（a）≤bf（b），即③正確，④錯誤；
構(gòu)造函數(shù)h（x）=

f(x)

x

∴h′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

∵xf'（x）-f（x）≥0，
∴h′（x）≥0
∴h（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)
∵a＜b，
∴h（a）＜h（b）
∴

f(a)

a

≤

f(b)

b

∴af（b）≥bf（a），故②正確，①錯誤
故答案為：②③

點評：本題重點考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的單調(diào)性，建立不等關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．