已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x2,當(dāng)x>0時(shí),f(x+1)=f(x)+f(1),若直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象恰有7個(gè)不同的公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(  )
A、(2
2
-2,2
6
-4)
B、(
3
+2,
3
+
6
C、(2
2
+2,2
6
+4)
D、(4,8)
考點(diǎn):函數(shù)奇偶性的性質(zhì),抽象函數(shù)及其應(yīng)用
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:本題通過奇函數(shù)特征得到函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn),且關(guān)于原點(diǎn)對稱,利用f(x+1)=f(x)+f(1)得到函數(shù)類似周期性特征,從而可以畫出函數(shù)的草圖,再利用兩個(gè)臨界狀態(tài)的研究,得到k的取值范圍.
解答: 解:∵當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x2,
∴f(1)=1.
∵當(dāng)x>0時(shí),f(x+1)=f(x)+f(1),
∴f(x+1)=f(x)+1,
∴當(dāng)x∈[n,n+1],n∈N*時(shí),
f(x+1)=f(x-1)+1=f(x-2)+2=…=f(x-n)+n=(x-n)2+n,
∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
∴函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn),且關(guān)于原點(diǎn)對稱.
∵直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象恰有7個(gè)不同的公共點(diǎn),
∴當(dāng)x>0時(shí),直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象恰有3個(gè)不同的公共點(diǎn),
∴由x>0時(shí)f(x)的圖象可知:
直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象相切位置在x∈[1,2]時(shí),直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象恰有5個(gè)不同的公共點(diǎn),
直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象相切位置在x∈[2,3]時(shí),直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象恰有9個(gè)不同的公共點(diǎn),
∴直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象位置情況介于上述兩種情況之間.
∵當(dāng)x∈[1,2]時(shí),
y=kx
y=(x-1)2+1
得:
x2-(k+2)x+2=0,
令△=0,得:k=2
2
-2

y=kx
y=(x-2)2+2
得:
x2-(k+4)x+6=0,
令△=0,得:k=2
6
-4

∴k的取值范圍為(2
2
-2,2
6
-4
).
點(diǎn)評:本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性、函數(shù)圖象與性質(zhì)及其應(yīng)用,本題有一定的綜合性,屬于中檔題.
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已知α為第四象限的角,且cos(
π
2
+α)=
4
5
則tanα=( 。
A、-
4
3
B、
3
4
C、-
3
4
D、
4
3

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函數(shù)y=2x-3+
4x-13
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如圖,在矩形ODEF中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),|OD|=2,|DE|=
3
,且滿足
OP
OD
EQ
ED
,直線CP與直線FQ相較于點(diǎn)M
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)當(dāng)λ=
1
2
時(shí),過點(diǎn)P與坐標(biāo)軸不垂直的直線,交動點(diǎn)M的軌跡于1A,B,線段AB的垂直平分線交x軸于R點(diǎn),試判斷
|PR|
|AB|
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OB
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2
,則動點(diǎn)P的軌跡方程是
 

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