Question

19．設F是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，過點F向C的一條漸近線引垂線，垂足為M，交另一條漸近線于點N，若3$\overrightarrow{MF}$=$\overrightarrow{FN}$，則雙曲線C的離心率是$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 設一漸近線OM的方程為y=$\frac{a}$x，設M（m，$\frac{a}$m），N（n，-$\frac{bn}{a}$），由3$\overrightarrow{MF}$=$\overrightarrow{FN}$，求得點M的坐標，再由FM⊥OM，斜率之積等于-1，求出a²=2b²，代入e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$，進行運算即可得到．

解答 解：由題意得右焦點F（c，0），設一漸近線OM的方程為y=$\frac{a}$x，
則另一漸近線ON的方程為y=-$\frac{a}$x，
設M（m，$\frac{bm}{a}$），N（n，-$\frac{bn}{a}$），
∵3$\overrightarrow{MF}$=$\overrightarrow{FN}$，
∴3（c-m，-$\frac{bm}{a}$）=（n-c，-$\frac{bn}{a}$），
∴3（c-m）=n-c，-$\frac{3bm}{a}$=-$\frac{bn}{a}$，
∴m=$\frac{2}{3}$c，n=2c，
∴M（$\frac{2c}{3}$，$\frac{2bc}{3a}$）．
由FM⊥OM可得，斜率之積等于-1，即$\frac{\frac{2bc}{3a}-0}{\frac{2c}{3}-c}$•$\frac{a}$=-1，
∴a²=2b²，∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的漸近線，求得點M的坐標是解題的關鍵，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．