Question

已知函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，對于任意x₁，x₂∈[-1，1]，x₁≠x₂總有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0且f（1）=1．若對于任意a∈[-1，1]，存在x∈[-1，1]，使f（x）≤t²-2at-1成立，則實數(shù)t的取值范圍是（　　）

• A、-2≤t≤2
• B、t≤-1-

  3

  或t≥

  3

  +1
• C、t≤0或t≥2
• D、t≥2或t≤-2或t=0

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件先判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化f（x）_min≤t²-2at-1成立，構(gòu)造函數(shù)g（a）即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁+x₂≠0時，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增．
∵f（1）=1，
∴f（x）的最小值為f（-1）=-f（1）=-1，最大值為f（1）=1，
若對于任意a∈[-1，1]，存在x∈[-1，1]，使f（x）≤t²-2at-1成立，
即t²-2at-1≥-1對所有a∈[-1，1]恒成立，
∴t²-2at≥0，
設(shè)g（a）=t²-2at=-2ta+t²，
則滿足

g(1)=t2-2t≥0 g(-1)=t2+2t≥0

，
即

t≥2或t≤0 t≥0或t≤-2

，
∴t≥2或t≤-2或t=0，
故選：D

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用條件判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．