Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x?R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分圖象如圖所示P是圖象的最高點，Q為圖象與x軸的交點，O為坐標原點．若OQ=4，OP=

5

，PQ=

13

．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移2個單位后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，當x∈（-1，2）時，求函數(shù)h（x）=f（x）•g（x）的值域．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的圖象,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）從給出的三角函數(shù)圖象中給出三個線段信息，從中可以求出圖象最高點的坐標，

T

4

的長度，由此推理出三角函數(shù)的解析式；
（2）由題意先求出g（x），h（x）的函數(shù)解析式，由x的范圍求出

π

3

x-

π

6

的范圍，同時結(jié)合三角函數(shù)的圖象進行分析，即可求出其函數(shù)值域．

解答： 解：（1）由條件知cos∠POQ=

42+( 5 )2-( 13 )2

2×4× 5

=

5

5

，所以P（1，2）．  （2分）
由此可得振幅A=2，周期T=4×（4-1）=12，又

2π

ω

=12，則ω=

π

6

．
將點P（1，2）代入f（x）=2sin（

π

6

x+φ），得sin（

π

6

x+φ）=1，
因為0＜φ＜

π

2

，所以φ=

π

3

，于是f（x）=2sin（

π

6

x+

π

3

）．             （6分）
（2）由題意可得g（x）=2sin[

π

6

（x-2）+

π

3

]=2sin

π

6

x．
所以h（x）=f（x）•g（x）=4sin（

π

6

x+

π

3

）•sin

π

6

x=2sin²

π

6

x+2

3

sin

π

6

x•cos

π

6

x=1-cos

π

3

x+

3

sin

π

3

x=1+2sin（

π

3

x-

π

6

）．                       （9分）
當x∈（-1，2）時，

π

3

x-

π

6

∈（-

π

2

，

π

2

），所以sin（

π

3

x-

π

6

）∈（-1，1），
即1+2sin（

π

3

x-

π

6

）∈（-1，3）．于是函數(shù)h（x）的值域為（-1，3）．        （12分）

點評：本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移、三角函數(shù)的恒等變換及三角函數(shù)的值域等知識，考查了求解三角函數(shù)的值域，關(guān)注自變量x的取值范圍是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．