Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，定點(diǎn)M（2，0），橢圓短軸的端點(diǎn)是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)M且斜率不為0的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．試問x軸上是否存在定點(diǎn)P，使△APB內(nèi)切圓圓心的縱坐標(biāo)為定值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）由橢圓短軸的端點(diǎn)是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂．可得△MB₁B₂是等腰直角三角形，可得b，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，a²=b²+c²，解出即可得出．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為x=my+2．與橢圓方程聯(lián)立化為（4m²+9）y²+16my-20=0．若△APB的內(nèi)切圓圓心縱坐標(biāo)為定值，則該定值必為0，即PM平分∠APB，因此直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，可得k_PA+k_PB=0．把斜率及其根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出．

解答 解：（I）∵橢圓短軸的端點(diǎn)是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂．
∴△MB₁B₂是等腰直角三角形，∴b=2，
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，a²=b²+c²，解得a=3，c²=5．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為x=my+2．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化為（4m²+9）y²+16my-20=0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-16m}{4{m}^{2}+9}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-20}{4{m}^{2}+9}$．
若△APB的內(nèi)切圓圓心縱坐標(biāo)為定值，則該定值必為0，即PM平分∠APB，
∴直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，
∴k_PA+k_PB=0．
設(shè)P（t，0），則$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=0，
將x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入上式，整理得$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+（2-t）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（m{y}_{1}+2-t）（m{y}_{2}+2-t）}$=0，
∴2my₁y₂+（2-t）（y₁+y₂）=0．
將 ${y_1}+{y_2}=\frac{-16m}{{4{m^2}+9}}$，${y_1}{y_2}=\frac{-20}{{4{m^2}+9}}$代入上式，
整理得 （-2t+9）•m=0．
由于上式對(duì)任意實(shí)數(shù)m都成立，∴t=$\frac{9}{2}$．
綜上，存在定點(diǎn)$P（\frac{9}{2}，0）$，使PM平分∠APB．即△APB的內(nèi)切圓圓心縱坐標(biāo)為定值0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．