Question

14．在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左、右頂點為A、B，右焦點為F．設過點T（t，m）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0．
（1）設動點P滿足PF²-PB²=4，求點P的軌跡；
（2）設${x_1}=2，{x_2}=\frac{1}{3}$，求點T的坐標．

Answer 1

分析 （1）設點P（x，y），由兩點距離公式將PF²-PB²=4，變成坐標表示式，整理即得點P的軌跡方程；
（2）將${x_1}=2，{x_2}=\frac{1}{3}$分別代入橢圓方程，解出點M與點N的坐標，由兩點式寫出直線AM與直線BN的方程，聯(lián)立解出交點T的坐標．

解答 解：（1）設點P（x，y），則F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）．
由PF²-PB²=4，得（x-2）²+y²-[（x-3）²+y²]=4，
化簡得x=$\frac{9}{2}$．
故所求點P的軌跡為直線x=$\frac{9}{2}$；
（2）將${x_1}=2，{x_2}=\frac{1}{3}$分別代入橢圓方程，以及y₁＞0，y₂＜0，
得M（2，$\frac{5}{3}$）、N（$\frac{1}{3}$，-$\frac{20}{9}$），
直線MTA方程為：$\frac{y-0}{\frac{5}{3}-0}=\frac{x+3}{2+3}$，即y=$\frac{1}{3}$x+1，
直線NTB方程為：$\frac{y-0}{-\frac{20}{9}-0}=\frac{x-3}{\frac{1}{3}-3}$，即y=$\frac{5}{6}$x-$\frac{5}{2}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+1}\\{y=\frac{5}{6}x-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=7}\\{y=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
點T的坐標為（7，$\frac{10}{3}$）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查直線與橢圓的方程等基礎知識．考查運算求解能力和探究問題的能力，是中檔題．