Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$都與$\overrightarrow{c}$垂直，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{5}$，又$\overrightarrow{u}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{v}$=$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$，試求：
（1）|$\overrightarrow{u}$|，|$\overrightarrow{v}$|；
（2）∠（$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$）；
（3）向量$\overrightarrow{u}$在向量$\overrightarrow{v}$上的射影射影${\;}_{\overrightarrow{v}}$$\overrightarrow{u}$．

Answer 1

分析 （1）由題意利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求得可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=0，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2，再根據(jù)|$\overrightarrow{u}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）}^{2}}$，|$\overrightarrow{v}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）}^{2}}$，計(jì)算求得結(jié)果．
（2）根據(jù)cos∠（$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$）=$\frac{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|•|\overrightarrow{v}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow•\overrightarrow{c}{-\overrightarrow{c}}^{2}}{3×3}$，計(jì)算求得結(jié)果．
（3）射影${\;}_{\overrightarrow{v}}$$\overrightarrow{u}$=|$\overrightarrow{u}$|•cos∠（$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$），計(jì)算求得結(jié)果．

解答 解：（1）由題意可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=0，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2×2×cos60°=2，
∴|$\overrightarrow{u}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow{c}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}$=$\sqrt{4+5+0}$=3，|$\overrightarrow{v}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow}^{2}{+\overrightarrow{c}}^{2}-2\overrightarrow•\overrightarrow{c}}$=$\sqrt{4+5-0}$=3；
（2）cos∠（$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$）=$\frac{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|•|\overrightarrow{v}|}$=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{u}|•|\overrightarrow{v}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow•\overrightarrow{c}{-\overrightarrow{c}}^{2}}{3×3}$=$\frac{2-0+0-5}{9}$
=-$\frac{1}{3}$．
（3）射影${\;}_{\overrightarrow{v}}$$\overrightarrow{u}$=|$\overrightarrow{u}$|•cos∠（$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$）=3×（-$\frac{1}{3}$）=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積得運(yùn)算，用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影，屬于中檔題．