Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(-

3

4

，0)對稱，且滿足f(x)=-f(x+

3

2

)，f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+…+f（2006）的值為

2

．

Answer 1

分析：由已知中定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(-

3

4

，0)對稱，且滿足f(x)=-f(x+

3

2

)，f（-1）=1，f（0）=-2，我們可得f（x）是一個以3為周期的周期函數(shù)，且f（3k）=-2，f（3k+1）=1，f（3k+2）=1，k∈Z，然后利用分組分解法，我們可以將f（1）+f（2）+…+f（2006）轉(zhuǎn)化為f（1）+f（2），進(jìn)而得到答案．

解答：解：∵函數(shù)f（x）滿足f(x)=-f(x+

3

2

)，
∴f（x+3）=f[(x+

3

2

)+

3

2

]=-f(x+

3

2

)=f（x）
即f（x）是一個以3為周期的周期函數(shù)
又∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(-

3

4

，0)對稱，
∴f（x）=-f（-

3

2

-x），又函數(shù)f（x）滿足f(x)=-f(x+

3

2

)，
∴f（-

3

2

-x）=f(x+

3

2

)
即f（x）=f（-x）
故函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)
又∵f（-1）=1，f（0）=-2，
∴f（1）=f（-1）=f（2）=1
∴f（3k）=-2，f（3k+1）=1，f（3k+2）=1，k∈Z
∴f（1）+f（2）+…+f（2006）=f（1）+f（2）=1+1=2
故答案為2

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的周期性，奇偶函數(shù)圖象的對稱性，其中根據(jù)已知條件確定出函數(shù)的周期，及一個周期中各整數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值，是解答本題的關(guān)鍵．