Question

已知函數(shù)f（x）=（log₂x）²+4log₂x+m，x∈[

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，4]，m為常數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（x）存在大于1的零點，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）有兩個互異的零點α，β，求m的取值范圍，并求α•β的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）轉(zhuǎn)化g（t）=t²+4t+m，t∈[-3，2]g（t）在t∈（0，2]時有零點g（t）表示的二次函數(shù)開口向上，對稱軸為t₀=-2，根據(jù)二次函數(shù)求解得出即

g(0)＜0 g(2)≥0

⇒

m＜0 12+m≥0

即可．
（Ⅱ）根據(jù)二次函數(shù)得出

g(-2)＜0 g(-3)≥0

⇒

-4+m＜0 -3+m≥0

⇒3≤m＜4，運用韋達(dá)定理求解即可，方程g（t）=t²+4t+m=0的兩根t₁+t₂=-4，即再運用對數(shù)求解即可，log2α+log2β=-4⇒log2αβ=-4⇒αβ=

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，

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=（log₂x）²+4log₂x+m，x∈[

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，4]，m為常數(shù)．
令t=log₂x，
∵x∈[

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，4]，∴t∈[-3，2]
則 由已知，若f（x）存在大于1的零點，即g（t）在t∈（0，2]時有零點g（t）表示的二次函數(shù)開口向上，對稱軸為t₀=-2，
所以若g（t）在t∈（0，2]時有零點，即

g(0)＜0 g(2)≥0

⇒

m＜0 12+m≥0

⇒-12≤m＜0
即m的取值范圍為[-12，0，
（Ⅱ）若f（x）有兩個相異的零點，
即g（t）在t∈[-3，2]
時有兩個相異零點
∴g（t）表示的二次函數(shù)開口向上，對稱軸為t₀=-2
∴

g(-2)＜0 g(-3)≥0

⇒

-4+m＜0 -3+m≥0

⇒3≤m＜4
即m的取值范圍為[3，4），
此時，方程g（t）=t²+4t+m=0的兩根t₁+t₂=-4
即log2α+log2β=-4⇒log2αβ=-4⇒αβ=

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點評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，不等式，方程，函數(shù)的零點的求解，屬于中檔題，關(guān)鍵是確定相應(yīng)的函數(shù)解析式，以及范圍．