Question

四棱錐P-ABCD底面是一個棱長為2的菱形，且∠DAB=60°，各側(cè)面和底面所成角均為60°，則此棱錐內(nèi)切球體積為

 

．

Answer 1

考點：球內(nèi)接多面體,棱錐的結(jié)構(gòu)特征,球的體積和表面積

專題：球

分析：設出內(nèi)切球的半徑，利用棱錐的體積求出內(nèi)切球的半徑，即可求解內(nèi)切球的體積．

解答： 解：四棱錐P-ABCD底面是一個棱長為2的菱形，且∠DAB=60°，△ADB，△DBC都是正三角形，邊長為2，三角形的高為：

3

．
由題意設內(nèi)切球的半徑為r，
四棱錐的高為：h，∴h=

3

2

×tan60°=

3

2

，斜高為：

3

棱錐的體積為：V=

1

3

S_底•h=

1

3

×

2 3

4

×22×

3

2

=

3

．
連結(jié)球心與底面的四個頂點，組成5個三棱錐，題目的體積和就是四棱錐的體積，
∴S_全=4×

1

2

×2×

3

+2×2sin60°=6

3

．
∴

1

3

×6

3

r=

3

，
r=

1

2

．
球的體積為：

4π

3

r3=

4π

3

(

1

2

)3=

π

6

．
故答案為：

π

6

點評：本題考查幾何體的內(nèi)切球的體積的求法，等體積法求法球的半徑是解題的關(guān)鍵考查空間想象能力以及計算能力．