Question

17．在平行四邊形OABC中，已知過(guò)點(diǎn)C的直線與線段OA、OB分別相交于點(diǎn)M、N，若$\overrightarrow{OM}$=sinθ•$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{ON}$=cosθ•$\overrightarrow{OB}$，其中θ∈（0，$\frac{π}{2}$），試求sinθ•cosθ的值．

Answer 1

分析 利用平行四邊形對(duì)邊平行且相等以及平行線分線段成比例可得sinθ與cosθ的關(guān)系，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，可得答案．

解答 解：利用平行四邊形對(duì)邊平行且相等以及平行線分線段成比例可得：$\frac{\left|\overrightarrow{OM}\right|}{\left|\overrightarrow{OA}\right|}$=$\frac{\left|\overrightarrow{OM}\right|}{\left|\overrightarrow{CB}\right|}$=$\frac{\left|\overrightarrow{ON}\right|}{\left|\overrightarrow{NB}\right|}$，
又由 $\overrightarrow{OM}$=sinθ•$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{ON}$=cosθ•$\overrightarrow{OB}$；
∴sinθ=$\frac{cosθ}{1-cosθ}$，cosθ=$\frac{sinθ}{1+sinθ}$，
∴sinθ-cosθ=sinθ•cosθ，
∴（sinθ-cosθ）²=（sinθ•cosθ）²，
又由sin²θ+cos²θ=1，
故1-2sinθ•cosθ=（sinθ•cosθ）²，
結(jié)合θ∈（0，$\frac{π}{2}$）可得：sinθ•cosθ=$-1+\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行線分線段成比例定定理，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，難度中檔．